概率论与数理统计

1-随机事件与运算

2019-03-21 08:00 CST
2020-01-26 19:07 CST
CC BY-NC 4.0
  • 随机试验 $E$
  • 样本空间 $\Omega={E的所有可能结果}$
  • 样本点 $e$(基本事件):$E$的每个结果
  • 随机事件:$A,B,C$ 为 $\Omega$ 的子集
    • $B\subset A$:$A$ 发生必然导致 $A$ 发生
    • 必然事件:$\Omega$
    • 不可能事件:$\emptyset$
  • $A\cup B/A+B$: $A,B$ 至少发生一个
  • $A\cap B/AB$: $A,B$ 同时发生
  • $A - B$:$A$ 发生, $B$ 不发生
    • $P(A-B)=P(A\overline{B})$
  • $\overline{A}$: 对立事件
  • De Morgan: $\overline{\bigcup A_i}=\bigcap \overline{A_i},\overline{\bigcap A_i}=\bigcup \overline{A_i}$
  • Union Bound: $P(\cup A_i)\leq\sum P(A_i)$
  • 概率定义:
    • $0\leq P(A)$
    • $P(\Omega)=1$
    • (可列可加性)若 $A_1,\cdots$ 两两互不相容,则 $P(A_1\cup\cdots)=P(A_1)\cup\cdots$
  • 概率性质
    • $P(A-B)=A(A)-P(AB)$
      • $A=(A-B)\cup AB$
    • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
  • 古典概型
    • $P(A)=\frac{m}{n}$
  • 几何概型
  • $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$
  • 乘法公式:$P(AB)=P(B)P(A|B)$
  • 全概率公式:对于划分 $A_1,\cdots,A_n, P(B)=\sum_{k=1}^nP(A_k)P(B|A_k)$
  • 贝叶斯公式:对于划分 $A_1,\cdots,A_n$, $P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^nP(A_k)P(B|A_k)}$
  • 互不相容:$P(A+B)=P(A)+P(B)$
    • 对立事件:$P(A)+P(B)=1$
  • 独立性:$P(AB)=P(A)P(B)$
    • 多事件互相独立
    • $P(\bigcup_iA_i)=1-\prod_i P(\overline{A_i})$
  • k-wise independent
    • pairwise independent
  • pairwise independent bits
    • $X_1,\cdots,X_m$ is mutually independent, then $n=2m-1$ pairwise indenpent bits can be generated: $Y_j=(\sum_{i\in S_j}X_i)\mod 2$
  • 可靠性分析(独立工作系统)
    • 可靠性:正常工作的概率
    • 串联方式:$P(B)=P(A_1\cdots A_n)$
    • 并联方式:$P(B)=1-\prod_i P(\overline{A_i})$
  • 独立重复试验概型:$n$ 重伯努利试验
    • 两个结果 $A$ 与 $\overline{A}$
    • 试验进行 $n$ 次,每次结果
  • $n$ 重伯努利试验中, $A$ 发生 $k$ 次的概率 $P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k}$
  • 泊松定理:$\lim_{n\rightarrow\infty}C_n^kp_n^k(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \lambda=np_n$