概率论与数理统计

2-随机变量及其概率分布

2019-03-21 08:00 CST
2019-12-27 18:23 CST
CC BY-NC 4.0
  • 随机变量:定义在样本空间上的函数 $X=X(e),e\in\Omega$
  • 分布函数:$F(x)=P(X\leq x) (-\infty<x<\infty)$
    • 单调不减
    • $F(x)=F(x+0)$
    • $0\leq F(x)\leq 1$
    • $F(-\infty)=0$
    • $F(\infty)=1$
    • $P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$
  • 离散随机变量
    • 0-1分布
    • 二项分布:$X\sim B(n,p)$
      • $P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}$
      • 最大值
        • $(n+1)p\in \mathbb{Z}$ 则 $k=(n+1)p-1/(n+1)p$
        • $(n+1)p\not\in\mathbb{Z}$ 则 $k=[(n+1)p]$
      • $E(X)=np$
      • $D(X)=np(1-p)$
    • 泊松分布 $X\sim P(\lambda)$
      • $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
      • $E(X)=\lambda$
      • $D(X)=\lambda$
      • 泊松分布可加性 $X\sim P(a),Y\sim P(b),X+Y\sim P(a+b)$
    • 几何分布 $X\sim g(p)$
      • $p_k=P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$
      • $E(X)=\frac{1}{p}$
      • $D(X)=\frac{1-p}{p^2}$
    • 超几何分布 $X\sim H(n,M,N)$
      • 合格率:$p=\frac{M}{N}$
      • $P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$
      • $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{M}{N}=p$, $\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{C^k_MC^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$
  • 连续性随机变量
    • $F(x)=\int_{-\infty}^xp(x)dt$
      • $p(x)\geq0$
      • $\int_{-\infty}^\infty=1$
    • 均匀分布: $p(x)=\frac{1}{b-a} (a<x<b)$, $X\sim U[a,b]$
      • $D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
    • 指数分布: $p(x)=\lambda e^{-\lambda x} (x\geq0)$, $X\sim E(\lambda)$
      • $E(X)=\frac{1}{\lambda}$
      • $D(X)=\lambda^{-2}$
    • $\Gamma$ 分布 $X\sim G(\lambda,r)$
      • $p(x)=\frac{\lambda^{r}}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}$
      • $E(X)=\frac{r}{\lambda}$
      • $D(X)=r\lambda^{-2}$
    • 正态分布: $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, $X\sim N(\mu,\sigma^2)$
      • $x=\mu,p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
      • 拐点 $x=\mu\pm\sigma$
      • 标准正态分布密度函数 $\phi(x)$, 分布函数 $\Phi(x)$
        • $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
        • $\alpha$ 分位点 $u_{\alpha}$: $P(X>u_\alpha)=\alpha$ 即 $\Phi(u_\alpha)=1-\alpha$
      • $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
        • $P(a\leq X\leq b)=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$
      • $3\sigma$ 原理:超出这个范围的可能性小于 $0.3%$
      • $E(X)=\mu$
      • $D(X)=\sigma^2$
      • $X\sim N(\mu,\sigma^2),Y=aX+b\sim N(a\mu+b,(\sigma a)^2)$
      • $X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2), Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2),X+Y\sim(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$
    • 卡方分布:$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}},y>0$, $X\sim\chi^2(1)$
      • $X\sim N(0,1),Y=X^2,Y\sim\chi^2(1)$
      • $E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n$
    • 连续型随机变量的函数
      • 分布函数法:$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(g(X)\leq y)$
        • 若$X$的分布函数$F(x)$严格单调递增,则随机变量$Y=F(x)$服从[0,1]上的均匀分布
      • $p_y(y)=F'_y(y)$
        • $F(x)=\int^{\phi(x)}_{\psi(x)}f(t)dt$ 则 $F'(x)=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$
      • $X\in(a,b),y=g(x)$ 处处可导且严格单调,则 $Y=g(X)$ 有 $p_Y(y)=p_x(g^{-1}(y))*|g^{-1}(y)'|$ $\alpha<y<\beta$
      • $Y=g(x)$ 离散,则 $Y$ 概率分布离散