概率论与数理统计

4-随机变量的数字特征

2019-03-21 08:00 CST
2019-12-27 18:23 CST
CC BY-NC 4.0
  • 期望
    • $E(X)=\sum_{i=1}^{+\infty}x_ip_i$
    • 若 $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|p(x)dx<\infty$, 则 $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x)dx$;否则不存在
      • 若 $X$ 不变号,可称无穷期望存在
    • $E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)p(x)dx$
    • $E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)p(x,y)dxdy$
      • $g$ 为连续函数,则作用后的量为随机函数
      • $E(c_1X_1+c_2X_2+\cdots+c_nX_n)=c_1E(X_1)+c_2E(X_2)+\cdots+c_nE(X_n)$
      • $X,Y$ 独立,$E(XY)=E(X)E(Y)$
      • 偶函数期望为0
  • 中位数:$m,P(X\geq m)\geq\frac{1}{2},P(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$
  • 方差
    • $EX^2<+\infty$, 则 $D(X)=\text{Var}(X)=E(X-EX)^2$ 为随机变量 $X$ 的方差
      • $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$ 为均方差(标准差)
    • $D(X)=EX^2-(EX)^2$
    • $D(a)=0$
    • $D(aX+b)=a^2D(X)$
    • $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)+2E((X-EX)(Y-EY))$
      • 独立:$D(\sum X)=\sum D(X)$
    • $D(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nD(X_i)+2\sum_{1\leq i<j\leq n}\text{cov}(x_i,x_j)$
    • 马尔科夫不等式:$P(X\geq kEX)\leq\frac{1}{k}$
    • 切比雪夫不等式:$P(|X-EX|\geq\epsilon)\leq\frac{DX}{\epsilon^2}$
      • $D(X)=0\iff P{X=C}=1$
    • 样本
      • 样本均值:$\overline{X}$
        • $D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}$
      • 样本偏差:$X_i-\overline{X}$
      • 样本方差:$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2$
        • $E(S^2)=\sigma^2$
      • 中心化随机变量:$\tilde X=X-EX$
        • $E(\tilde X)=0$
      • 标准化随机变量:$X^*=\frac{X-EX}{\sqrt{D(X)}}$
        • $E(X^*)=1$
    • 随机变量 $X$ 和非负整数 $k$,若 $E(|X|^k)<\infty$ 则称 $EX^k$ 为 $X$ 的 $k$阶原点矩
    • 随机变量 $X$ 和非负整数 $k$,若 $E(X-EX)^k<\infty$ 则称 $E(X-EX)^k$ 为 $X$ 的 $k$阶中心矩
    • 三阶中心矩:分布是否有偏
    • 四阶中心矩:衡量分布在均值附近的陡峭程度
  • 协方差
    • 若 $E|X|,E|Y|,E|(X-EX)(Y-EY)|$ 都有限,则 $X$ 和 $Y$ 的协方差为 $\text{cov}(X,Y)=E((X-EX)(Y-EY))$
      • $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\text{cov}(X,Y)$
      • $D(\sum X_i)=\sum D(X_i)+2\sum \text{cov}(X_i,X_j)$
      • $\text{cov}(X,Y)=E(XY)-EX*EY$
      • $\text{cov}(aX+c_1,bY+c_2)=ab\text{cov}(X,Y)$
      • 若 $X_1,X_2$ 和 $Y$ 的二阶矩有限,则 $\text{cov}(X_1+X_2,Y)=\text{cov}(X_1,Y)+\text{cov}(X_2,Y)$
    • Cauchy-Schwarz 不等式:$(\text{cov}(X,Y))^2\leq D(X)D(Y)$
      • 取等:$P(a(X-EX)+b(Y-EY)=0)=1$, $a,b$ 不全零
  • 相关系数
    • $X,Y$二阶矩有限,$D(X),D(Y)>0$,则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $corr(X,Y)=\rho_{XY}=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$
    • $\text{cov}(X^*,Y^*)=\rho_{XY}$
    • $\rho_{XY}\leq 1$
    • $|\rho_{XY}|=1\iff D(X)>0,D(Y)>0$ 且存在不全为零的 $a,b,c$ 使得 $P((cX+aY)=b)=1$.
    • 最小线性二乘估计
      • $X,Y$ 方差为 1,$EX=\mu_1,EY=\mu_2$, 求 $L(X)=a+bX$ 使 $E(Y-L(X))$ 最小
      • $L(X)=\rho_{XY}*(X-\mu_1)+\mu_2$
    • (线性)不相关 $\rho_{X,Y}=0$
  • 条件数学期望
    • $E(X|Y=y_j)=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{x_ip_{ij}}{p_{\cdot j}}$
    • $E(X|Y=y)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xp(x,y)}{p_Y(y)}$
    • 全期望公式:$E(E(X|Y))=E(X)$