概率论与数理统计

5-极限理论

2019-03-21 08:00 CST
2019-12-27 18:23 CST
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  • 大数定律
    • $X_n\overset{P}{\rightarrow}X$: 随机变量序列${X_n}$ 依概率收敛于随机变量 $X$, 即 $\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n-X|\geq\epsilon)=0$
    • ${X_n}$ 服从大数定律:$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(X_k-EX_k)\overset{P}{\rightarrow}0$
    • 马尔科夫大数定律:${X_n}$ 满足 $\frac{1}{n^2}D(\sum_{k=1}^nX_k)\rightarrow0$ (马尔科夫条件)则 ${X_n}$ 服从大数定律
    • 切比雪夫大数定律:${X_n}$ 为两两互不相关的随机变量序列,又存在 $C>0$, 使 $D(X_k)\leq C,k=1,2,...$, 则 ${X_n}$ 服从大数定律
    • 独立同分布大数定律: ${X_n}$ 为独立同分布的随机变量,$EX_n=\mu$ ($D(X_n)=\sigma^2<\infty$),则 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k\overset{P}{\rightarrow}\mu$
    • Bernoulli 大数定理:$\mu_n$ 为 $n$ 重 伯努利试验中 $A$ 发生的次数,$p$ 为 $A$ 在每次实验中发生的概率,则任意的 $\epsilon$ 有 $\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\frac{\mu_n}{n}-p|\geq\epsilon)=0$
  • 中心极限定理
    • ${X_n}$ 服从中心极限定理:${X_n}$ 为一列相互独立的随机变量序列,$EX_k=\mu_k,D(X_k)=\sigma^2,k=1,2,...$ 均存在,对于标准化变量列 $Y_n^=\frac{\sum_{k=1}^nX_k-\sum_{k=1}^n\mu_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^n\sigma_k^2}}$ 有 $\lim_{n\rightarrow\infty}P(Y_n^\leq x)=\Phi(x)$
      • $\sum_{k=1}^nX_k$ 的渐进分布为 $N(E(\sum_{k=1}^nX_k),D(\sum_{k=1}^nX_k))$
    • 列维-林德伯格中心极限定理:${X_n}$ 为独立同分布的随机变量序列,$EX_n=\mu,D(X_n)=\sigma^2$ 都存在,则 ${X_n}$ 服从中心极限定理
    • 拉普拉斯中心极限定理:$\lim_{n\rightarrow\infty}P(\frac{\mu_n-np}{\sqrt{npq}}\leq x)=\Phi(x)$
      • $X\sim B(n,p), X\sim N(np,npq)$
      • $X\sim P(n), X\sim N(n,n)$
    • 频率估计概率:$P(|\frac{\mu_n}{n}-p|<\epsilon)=2\Phi(\epsilon\sqrt{\frac{n}{pq}})-1$
    • 林德伯格-费勒定理:${X_n}$ 是独立随机变量列,$\mu_n=E(X_n),\sigma_n^2=D(X_n),B_n^2=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2$。若对任何 $\tau>0$, 有 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{B_n^2}\sum_{k=1}^n\sum_{k=1}^nE((X_k-\mu_k)^2[\vert X_k-\mu_k\vert>\tau B_n])=0$, 则随机变量 $X_n^*=\sum_{k=1}^n\frac{X_k-\mu_k}{B_n}$ 服从中心极限定理