概率论与数理统计

6-数理统计基础

2019-03-21 08:00 CST
2019-12-27 18:23 CST
CC BY-NC 4.0
推断统计与描述统计

  • 总体:研究对象全体
    • 个体:总体中每个成员
  • 样本,抽样,样本容量,样本值
  • 简单随机样本:代表性,独立性
  • 统计量:$T(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
    • 样本均值:$\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
    • 样本方差:$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2$
      • 样本标准差
    • 样本二阶中心矩:$S^{*2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X^2)$
    • 样本$k$阶原点矩:$A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^kX_i^k$
    • 样本$k$阶中心矩:$B_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X)^k$
    • $S_{XY}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x}){y_i-\overline{y}}$
    • 样本相关系数:$\frac{S_{XY}}{S^*_XS^*_Y}$
  • 大样本理论:$\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\rightarrow N(0,1)$, 则 $X_i\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
  • 正态总体
    • $\chi^2$ 分布:$X_i\sim N(0,1)$ 独立同分布,则 $\chi^2_n=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim\chi^2(n)$, $p(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}e^{-\frac{x}{2}x^{\frac{n}{2}-1}},x>0$
      • $\chi_1^2\sim\chi^2(n_1),\chi_2^2\sim\chi^2_2,\chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2)$
      • Cochran 分解定理:$X_i\sim N(0,1)$ 独立同分布,$\sum_{i=1}^kQ_i=\sum_{i=1}^nX_i^2$,$Q_i$ 为秩为 $n_i$ 的$X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的非负二次型,则 $Q_i(i=1,2,\cdots,k)$ 相互独立且分别服从于自由度为 $n_i$ 的$\chi^2$ 分布的充要条件为 $\sum_{i=1}^k=n$
    • t 分布:$X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$, $X$ 与 $Y$ 独立,则$T=\frac{X}{\sqrt\frac{Y}{n}}\sim t(n)$, $p(x)=\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}(1+=\frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}$
    • F 分布:$U\sim\chi^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2)$, $U$ 与 $V$ 独立,则 $F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)$, $p(x)=\frac{\Gamma((n_1+n_2)/2)}{\Gamma(n_1/2)\Gamma(n_2/2)}(\frac{n_1}{n_2})^\frac{n_1}{2}x^{\frac{n_1}{2}-1}(1+\frac{n_1}{n_2}x)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}$
      • $F\sim F(n_1,n_2),\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$
      • $T\sim t(n),T^2\sim F(1,n)$
    • 上 $\alpha$ 分位点 $\gamma_\alpha$: $P(X>\lambda_\alpha)=\alpha$
      • $u_{1-\alpha}=-u_\alpha$
      • $t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$
      • $F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}$
$N(0,1)$ $\chi^2(n)$ $t(n)$ $F(n_1,n_2)$
$u_\alpha$ $\chi^2_\alpha(n)$ $t_\alpha(n)$ $F_\alpha(n_1,n_2)$
  • 样本 $X_i\sim N(\mu,\sigma)$
    • $\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
    • $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
      • $\overline{X}$ 与 $S^2$ 独立
    • $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
    • $F=\frac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$
    • $U=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\sim N(0,1)$
    • $T=\sqrt{\frac{n_1n_2(n_1+n_2-2)}{n_1+n_2}}\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}\sim t(n_1+n_2-2)$